Polinomska funkcija

Polinomska funkcija

Polinom stopnje n ima predpis P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀, kjer je aₙ ≠ 0 vodilni koeficient, n pa stopnja polinoma. Linearna (n=1) in kvadratna (n=2) funkcija sta posebna primera polinoma.

Polinom stopnje n ima največ n realnih ničel. Če je x₀ ničla polinoma, se (x − x₀) da izpostaviti kot faktor — to izkoristimo pri deljenju polinomov (npr. s Hornerjevim algoritmom), da polinom razstavimo na faktorje nižje stopnje.

Obnašanje polinoma za zelo velike |x| (t. i. "obnašanje v neskončnosti") določa vodilni člen aₙxⁿ — vsi ostali členi postanejo zanemarljivi.

Zgled: P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. Preverimo x=1: P(1) = 1−6+11−6 = 0 ⇒ x=1 je ničla, zato (x−1) delimo P(x): dobimo P(x) = (x−1)(x²−5x+6) = (x−1)(x−2)(x−3). Ničle: 1, 2, 3.

Pogosta napaka: dijaki mislijo, da ima polinom stopnje n VEDNO natanko n realnih ničel — v resnici jih ima največ n (nekatere so lahko kompleksne ali se ponavljajo).