Krivulje drugega reda

Krivulje drugega reda

Krivulje drugega reda (stožnice) so krožnica, elipsa, hiperbola in parabola — nastanejo kot preseki stožca z ravnino v različnih kotih. Standardne enačbe s središčem v izhodišču:

• Krožnica s polmerom r: x² + y² = r².
• Elipsa s polosema a (vodoravna) in b (navpična): x²/a² + y²/b² = 1.
• Hiperbola (vodoravna os): x²/a² − y²/b² = 1, ima dve asimptoti y = ±(b/a)x.
• Parabola (teme v izhodišču, os y): y = ax² (že poznana iz kvadratne funkcije), ali x² = 2py v drugi obliki zapisa.

Krožnica je poseben primer elipse, kjer je a = b = r.

Krivulja s središčem premaknjenim v točko (p, q) ima enačbo z zamenjavo x → (x−p) in y → (y−q), npr. krožnica s središčem (p,q) in polmerom r: (x−p)² + (y−q)² = r².

Zgled: enačba x²/9 + y²/4 = 1 predstavlja elipso z a=3 (vodoravna polos), b=2 (navpična polos) — razteg vzdolž x-osi je večji kot vzdolž y-osi.

Pogosta napaka: dijaki pri hiperboli mešajo predznak — x²/a² − y²/b² = 1 (hiperbola, odprta levo-desno) NI isto kot x²/a² + y²/b² = 1 (elipsa, zaprta krivulja); minus namesto plus popolnoma spremeni obliko krivulje.