Vektorji v ravnini in prostoru

Vektorji v ravnini in prostoru

Vektor ima velikost (dolžino) IN smer — razlikuje se od skalarja, ki ima samo velikost (npr. temperatura). V ravnini zapišemo vektor kot a = (a₁, a₂), v prostoru kot a = (a₁, a₂, a₃).

Osnovne operacije:

• Seštevanje: a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂) — geometrijsko po pravilu paralelograma.
• Množenje s skalarjem: k·a = (k·a₁, k·a₂) — spremeni dolžino (in smer, če je k<0).
• Dolžina vektorja: |a| = √(a₁² + a₂²) (v ravnini), oz. √(a₁²+a₂²+a₃²) (v prostoru).
• Skalarni produkt: a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b|cos φ, kjer je φ kot med vektorjema.

Iz skalarnega produkta izpeljemo kot med vektorjema: cos φ = (a·b) / (|a|·|b|). Če je a·b = 0, sta vektorja pravokotna.

Zgled: a=(3,4), b=(1,2). a·b = 3·1+4·2 = 11. |a|=5, |b|=√5. cos φ = 11/(5√5) ≈ 0,9839, φ ≈ 10,3°.

Pogosta napaka: dijaki zamenjajo skalarni produkt (rezultat je ŠTEVILO) z "množenjem vektorjev po komponentah v nov vektor" — skalarni produkt a·b NI vektor, je skalar (število).