Kompleksna števila

Kompleksna števila

Enačba x² + 1 = 0 nima rešitve med realnimi števili (kvadrat realnega števila ni nikoli negativen). Zato vpeljemo imaginarno enoto i, definirano z i² = −1.

Kompleksno število zapišemo v obliki z = a + bi, kjer je a realni del (Re z = a) in b imaginarni del (Im z = b). Množico kompleksnih števil označimo z ℂ, in velja ℝ ⊂ ℂ (realna števila so kompleksna z b=0).

Računske operacije:

• Seštevanje: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
• Množenje: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i (uporabimo i²=−1)
• Konjugirano število z̄ = a − bi; velja z·z̄ = a² + b² (vedno realno in nenegativno)
• Modul |z| = √(a² + b²) — "dolžina" kompleksnega števila

Kompleksna števila geometrijsko ponazorimo v Gaussovi ravnini: realni del na vodoravni osi, imaginarni del na navpični osi.

Zgled: (2 + 3i)(1 − i) = 2·1 + 2·(−i) + 3i·1 + 3i·(−i) = 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i − 3(−1) = 2 + i + 3 = 5 + i.

Pogosta napaka: dijaki pozabijo, da je i² = −1 (ne i² = 1), kar pri množenju spremeni predznak zadnjega člena — to je najpogostejši vir napačnih rezultatov.