Realna števila

Realna števila

Realna števila ℝ vsebujejo VSA racionalna in iracionalna števila. Iracionalno število NI mogoče zapisati kot ulomek celih števil — njegov decimalni zapis je neskončen in NEperiodičen. Primeri: √2 = 1,41421356..., π = 3,14159265..., število e = 2,71828...

Realna števila predstavimo z realno številsko premico — vsaki točki na premici ustreza natanko eno realno število, in obratno. Med poljubnima dvema realnima številoma leži neskončno mnogo drugih realnih števil (ℝ je "gosta" množica).

Pomembna oznaka so intervali:

• [a, b] — zaprt interval (a in b sta vključena)
• (a, b) — odprt interval (a in b nista vključena)
• [a, b) in (a, b] — polodprta intervala

Zgled: dokaz, da je √2 iracionalno (skica): če bi bilo √2 = a/b (okrajšan ulomek), bi sledilo a² = 2b², torej je a² sodo, torej a sodo, torej a=2k, torej 4k²=2b², b²=2k², torej je tudi b sodo — a in b sta oba soda, kar je v nasprotju s predpostavko, da je ulomek okrajšan. Protislovje ⇒ √2 ni racionalno.

Pogosta napaka: dijaki mislijo, da so vsa "dolga" decimalna števila iracionalna. Ključno je PERIODIČNOST: 0,142857142857... (periodično) JE racionalno (= 1/7), medtem ko π nikoli ne ponovi vzorca.