Zaporedja in vrste

Zaporedja in vrste

Zaporedje je funkcija z definicijskim območjem ℕ — vsakemu n priredi člen aₙ. Dve ključni vrsti:

Aritmetično zaporedje: razlika med zaporednima členoma je konstantna (diferenca d): aₙ = a₁ + (n−1)d. Vsota prvih n členov: Sₙ = n(a₁+aₙ)/2.

Geometrijsko zaporedje: razmerje med zaporednima členoma je konstantno (kvocient q): aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. Vsota prvih n členov: Sₙ = a₁(qⁿ−1)/(q−1), za q≠1.

Neskončna geometrijska vrsta a₁+a₁q+a₁q²+... ima končno vsoto NATANKO TAKRAT, ko je |q| < 1: S = a₁/(1−q). Če je |q| ≥ 1, vrsta divergira (nima končne vsote).

Zgled: geometrijsko zaporedje 3, 6, 12, 24, ... ima a₁=3, q=2. a₅ = 3·2⁴=48. Neskončna vrsta 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... ima q=1/2 (|q|<1): S = 1/(1−1/2) = 2.

Pogosta napaka: dijaki uporabijo formulo za vsoto neskončne geometrijske vrste tudi, kadar je |q| ≥ 1 (npr. za zaporedje 2,4,8,16,... kjer q=2) — taka vrsta NIMA končne vsote, gre proti neskončnosti.