Eksponentna funkcija

Eksponentna funkcija

Eksponentna funkcija ima predpis f(x) = aˣ, kjer je osnova a > 0 in a ≠ 1. Spremenljivka x je tu v EKSPONENTU (za razliko od potenčne funkcije xⁿ, kjer je spremenljivka v osnovi).

• a > 1: funkcija strogo narašča (npr. f(x)=2ˣ)
• 0 < a < 1: funkcija strogo pada (npr. f(x)=(1/2)ˣ)

Domena je vedno ℝ (vsa realna števila), zaloga vrednosti pa (0, ∞) — eksponentna funkcija je VEDNO pozitivna, nikoli ne doseže 0 (a se mu asimptotsko približuje). Graf ima torej vodoravno asimptoto y=0. Vsak graf gre skozi točko (0,1), ker je a⁰=1 za vsak a.

Eksponentna funkcija modelira eksponentno rast/upadanje: obrestnoobrestni račun, rast populacije, radioaktivni razpad. Posebej pomembna je osnova e ≈ 2,71828 (Eulerjevo število), ki nastopa pri naravni eksponentni rasti.

Zgled: f(x) = 3ˣ. f(0)=1, f(1)=3, f(2)=9, f(−1)=1/3. Vrednosti hitro naraščajo za pozitivne x in se hitro bližajo 0 za negativne x.

Pogosta napaka: dijaki mislijo, da eksponentna funkcija lahko doseže ali "preseže v negativno" — f(x)=aˣ je za vsak x STROGO POZITIVNA, nikoli 0 ali negativna.