Diferencialni račun

Diferencialni račun

Odvod funkcije f v točki x pove trenutno hitrost spreminjanja funkcije oz. naklon tangente na graf v tisti točki. Formalno: f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)−f(x)]/h.

Osnovna pravila odvajanja:

• (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ (potenčno pravilo)
• (konstanta)' = 0
• (f+g)' = f' + g' (vsota)
• (f·g)' = f'g + fg' (produkt)
• (aˣ)' = aˣ·ln a, posebej (eˣ)' = eˣ
• (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x

Odvod uporabimo za analizo funkcije:

• f'(x) > 0 na intervalu ⇒ f narašča tam
• f'(x) < 0 na intervalu ⇒ f pada tam
• f'(x) = 0 ⇒ stacionarna točka (možen lokalni ekstrem — maksimum ali minimum)

Zgled: f(x) = x³ − 3x. f'(x) = 3x² − 3. f'(x)=0 ⇒ 3x²=3 ⇒ x=±1. Za x<−1: f'>0 (narašča), za −1<x<1: f'<0 (pada), za x>1: f'>0 (narašča) — torej x=−1 je lokalni maksimum, x=1 lokalni minimum.

Pogosta napaka: dijaki mislijo, da f'(x)=0 VEDNO pomeni ekstrem — pri f(x)=x³ je f'(0)=0, a x=0 ni ekstrem (je prevoj), ker se predznak f' okoli 0 ne spremeni.